|「WordPressの新しいバージョンがあります。」と表示されるが更新できない場合
原因の一つとしてはPHPのバージョンが古いことが考えられます。
更新を行おうとした時に「WordPress 5.4 は PHP バージョン5.6.20以上が必要なため、更新できません。」などと
表示されていませんでしょうか?
それは先に言ったとおり現在のWordPresに必要なPHPバージョンを満たしていないからと考えられます。
筆者の場合は2016年に放置していたサイトだったので下記のような表示になっています。

|解決方法
筆者の場合は「さくらインターネット」のサーバーを使用していますので
「サーバコントロールパネル」にログインを行いPHPのバージョンアップ設定を行います。
手順(2020/04/22時点)
1:まずは必要であればWordPressのデータバックアップを取っておきましょう。
2:「アプリケーションの設定」にある「PHPのバージョン選択」から最新のPHPバージョンの選択を行います。
筆者の場合は「現在のバージョン」欄に「PHP 5.4.45」とありましたのでこれを最新の「PHP 7.4」に変更を行います。
「PHP 7.4」にチェックを入れ「変更」ボタンを押します。
これでサーバー側のPHPが切り替わりました。
とても簡単ですね。

3:次に再度WordPressの更新ページで「WordPressの新しいバージョンがあります。」と表示されたままと思いますのでこちらから「今すぐ更新」を押します。
すると今度は上手く最新版にWordPressがバージョンアップされているはずです。
筆者の場合はこれで解決できました。
いかがでしたでしょうか?
素敵なWordPressライフをお楽しみ下さい。